Перпендикуляр и наклонная

Страница
3

Слайд 13

Доказательство:

Рассмотрим два случая. В случае 1 точки А и В находятся по одну сторону от плоскости pi. Рассмотрим ортогональные проекции точек А и В на плоскость — точки А1 и B1 соответственно. Тогда прямая A1B1 является ортогональной проекцией прямой AВ и проходит через точку С. В плоскости , проходящей через прямые AВ и А1В1, прямоугольные треугольники AA1С и BB1C подобны, и поэтому их катеты пропорциональны гипотенузам:

Случай 2, когда точки А и В расположены по разную сторону от плоскости, разберите самостоятельно. Замечание 1 доказано.

Слайд 14

Свойство расстояния от середины отрезка

до плоскости

Замечание 2 (свойство расстояния от середины отрезка до плоскости).

Пусть расстояния от точек А и Bдо плоскости pi равны а и b соответственно. Тогда расстояние от середины С отрезка АВ до этой плоскости равно:

если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости pi;

если точки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по разные стороны от

плоскости pi

Tочки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по одну сторону от плоскости pi

Слайд 15

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее ортогональной проекции.

Доказательство.

Пусть даны плоскость pi, перпендикуляр АВ на эту плоскость, наклонная АС, и прямая m в плоскости pi. Нам надо доказать два взаимно обратных утверждения. Первое утверждение: если прямая mперпендикулярна наклонной АС, то она перпендикулярна и ее ортогональной проекции ВС. И обратно: если прямая mперпендикулярна ортогональной проекции ВС,

то она перпендикулярна и наклонной АС.

Перпендикуляр АВ к плоскость pi, наклонная АС и прямая т в плоскости pi.

Слайд 16

Слайд 17

Угол между наклонной и плоскостью

Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е. равен 90°.