Полная и неполная индукция. Метод математической индукции

Страница
2

• предполагают, что при любом натуральном значении k утверждение справедливо.

• доказывают справедливость утверждения при n=k+1.

• тогда утверждение считается доказанным для всех n.

Слайд 7

Ханойские башни

Есть три стержня и колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стержня на другой?

Слайд 8

Пересечение прямых

Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках.

Слайд 9

Докажите тождество

1. [БАЗА]Проверим, работает ли эта формула при n=1:

2.[ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предположим, что тождество верно при n=k, то есть

3.[ШАГ] Шаг индукции будет соответствовать проверке этого тождества при n=k+1, то есть нужно доказать, что

4.[ВЫВОД] Тождество верно для любого .

Слайд 10

Группа 1.

Задача 1. Докажите, что при каждом натуральном , начиная с , существует выпуклый -угольник, имеющий ровно три острых угла.

Задача 2. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Задача 3.Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1 ) делится на 133 без остатка.

Группа 2.

Задача 1. Плоскость разделена на части n прямыми. Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета так, что соседние куски будут раскрашены в разные цвета.

Задача 2. Доказать, что 1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1).

Задача 3.Доказать, что при любом n 7 n -1 делится на 6 без остатка.

Группа 3.

Задача 1. Докажите что сумма углов выпуклого n-угольника равна

(или радиан). В частности для треугольника получаем

а для четырехугольника

Задача 2. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Задача 3.Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11.

Группа 4.

Задача 1. Чему равно количество кусочков, на которые n прямых (не проходящих через одну точку) делят плоскость на части? Одна прямая — на две части, две — на четыре. А пятнадцать прямых?

Задача 2. Доказать, что 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) для любого натурального n.

Задача 3.Доказать, что 11 2n -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка.

Слайд 11

Рефлексия

Слайд 12